إن التناسب بين المحيط والقطر تناسب طردي فكلما زاد القطر زاد معه كبر الدائرة وبالتالي محيط الدائرة" أتمنى أن يكون واضح لديكم ما هو القطر و ما هو المحيط" وعند القياس وجد الباحثون الأوائل أن المحيط مهما كانت الدائرة وحجمها إن كانت مرسومة بشكل صحيح يكون طوله 3,1415927 مرة طول نصف القطر أي مهما حاولت ومهما جربت ومهما اخضرت من أقلام و فراجير لا يمكن أن ترسم دائرة لا تخضع لهذه القاعدة:



المحيط =3,1415927 نصف القطر



ويسمى هذا العدد" بآى" و يسمى هذا النوع من العلاقات الرياضية بالعلاقات الخطية أي عندما يزيد طرف يزيد أو ينقص الطرف الثاني وعندما يكون أحدهما مجهول نوجده بدلالة الثاني .

ولكن لنفرض جدلا أنا أخذنا هذه العلاقة إلى كون آخر لا وجود للعلاقات الخطية فيه وحاولنا رسم دائرة فيه فنجد عند القياس إن المحيط لا يساوى 3,14نصف القطر قد نجدة في وقت معين خمسة أضعاف ثم فجأة يكون ربع أو ربما يكون في كل مرة نكبر القطر فيها يصغر المحيط !!!!وعند ذ لك لابد من البحث عن علاقة غير خطية جديدة بين القطر و المحيط غير السابقة وهذه هي المشكلة فالعلاقات غير الخطية تحوي العديد من التكاملات و الاشتقاقات والأسس الكبير مما يجعل التعامل معها صعب سوف استطرد قليلا لتتضح الصورة , وفق هذه العلاقات التناسبية الملحوظة في هذا الكون حاول الباحثون على مر العصور صياغة القوانين التي تحكم هذه التناسبات ومع تطور الرياضيات و توالي اكتشافاتها استطاعوا صياغة عدد من العلاقات الرياضية المهمة منها أعظم القوانين في علم الحركة والقوى قانون نيوتن الثاني الذي يصف التسارع الذي يكتسبه جسم معين وعلاقته بالقوى الواقعة علية فمن المعروف أنك إذا قمت بدفع جسم زادت سرعة أي كلما زادت القوة الدافعة زادت السرعة و بالتالي التسارع (علاقة طردية) ولكن بنسبة معينه هذه أكتشفها نيوتن رياضيا وليس معمليا بأنها كتلة الجسم و صاغ العلاقة التالية:



القوة = (التسارع)*(الكتلة)



فالكتلة هنا تعمل عمل 3,14في العلاقة السابقة بمعنى أن القوه تساوى تسارع الجسم مضروب في عدد معين هو الكتلة فمثلا جسم كان تسارعه 10متر/ ثانية تربيع و كتلة الجسم مثلا تساوى 50 كيلو جرام فان القوة أو مجموع القوى الواقعة علية وفق هذه النظرية 500 نيوتن في اتجاه الحركة . أي أنة بإمكان أي عالم أو مهندس وهو يجلس على مكتبة و هو يشرب الشاي أن يستنتج القوى اللازمة لاعطاء أي جسم ( سيارة طيارة علبة ببسي ..أي جسم مهما كان) تسارع مقداره كذا كذا.. دون أن يذهب إلى المعمل أو يجري تجارب .

فلو أخذانا منظومة مكونة من جسم مكعب و عجلات أو أي منظومة مشابهة لأمكن تطبيق علاقة نيوتن السابقة عليها و استخرجنا مانريدة من حدود نظرا لان العلاقة بين السرعة والتسارع و القوة خطية ..........ولكن المشكلة في أن معظم المنظومات المعروفة العلاقة بين حدودها غير خطية .

للأسف فان العلماء و المهندسين عندما يقومون بتصميم شيء يحاولون التأكد من النظام الذي يدرسونه أو يصممونه خطي أو لا فلو كان كذالك أهلا وسهلا و إن لم يكن فعندها يبتدئون بهرش الرؤس تفكيرا في الورطة التي هم فيها وفي اغلب الأحيان يحزمون الحقائب و يتوكلون علي الله في بحث ثان.

و السبب في ذالك صعوبة التعامل مع هذه الأنظمة فحتى إذا تمكنوا من وضع معادلة بين الحدود الغير خطية تبقي مشكلة التعامل مع هذه المعادلة وحلها و تبسيطها فهناك ست أو سبع طرق للحل لمثل هذه المعادلات ولكن في أغلب الأحوال لا تخضع المعادلة لهذه الطرق عند ذالك لا بد من ارتجال طريقة الحل ( على ذمة أحد الدكاترة قد يستغرق الحل المرتجل 6 أو 5 سنوات على أحسن تقدير) فالمعادلات تحتوى على عدد لابأس بة من التكاملات المتشابكة قد يكون نتيجتها "" ملا نهاية "" او تستعصي على الحل مع أشتقاقات عديدة عند ذالك لا بد من التحايل على هذه النهايات و التكاملات " الخنفشارية " و في أغلب الحالات تبقى هذه المعادلات بدون حل مما يحرمنا نحن البشر من تطبيقات هامة و مفيدة.